在数学领域中，线性代数是一个重要的分支，而实对称矩阵的对角化是其中的一个核心内容。实对称矩阵因其特殊的性质，在物理、工程学等领域有着广泛的应用。本文将通过两个具体的例子，详细讲解如何对实对称矩阵进行对角化。
例一：简单的二阶实对称矩阵
考虑一个二阶实对称矩阵 \( A \)：
\[
A =
\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
2 & 5
\end{bmatrix}
\]
第一步：计算特征值
要对矩阵 \( A \) 进行对角化，首先需要找到其特征值。特征值 \( \lambda \) 满足方程：
\[
\det(A - \lambda I) = 0
\]
代入矩阵 \( A \)，得到：
\[
\det
\begin{bmatrix}
4-\lambda & 2 \\
2 & 5-\lambda
\end{bmatrix} = (4-\lambda)(5-\lambda) - 4 = \lambda^2 - 9\lambda + 16 = 0
\]
解这个二次方程，得到特征值为 \( \lambda_1 = 8 \) 和 \( \lambda_2 = 1 \)。
第二步：求特征向量
对于每个特征值，我们需要求出对应的特征向量。
- 对于 \( \lambda_1 = 8 \)：
解方程组 \( (A - 8I)\mathbf{x} = 0 \)，即：
\[
\begin{bmatrix}
-4 & 2 \\
2 & -3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]
化简后可得 \( x_1 = \frac{1}{2}x_2 \)，取 \( x_2 = 2 \)，则特征向量为 \( \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
- 对于 \( \lambda_2 = 1 \)：
解方程组 \( (A - I)\mathbf{x} = 0 \)，即：
\[
\begin{bmatrix}
3 & 2 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
\end{bmatrix}
\]
化简后可得 \( x_1 = -\frac{2}{3}x_2 \)，取 \( x_2 = 3 \)，则特征向量为 \( \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} \)。
第三步：构造正交矩阵
由于 \( A \) 是实对称矩阵，其特征向量可以正交化。对 \( \mathbf{v}_1 \) 和 \( \mathbf{v}_2 \) 进行单位化，得到正交矩阵 \( P \)：
\[
P =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{13}} \\
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{3}{\sqrt{13}}
\end{bmatrix}
\]
第四步：对角化
最终，\( A \) 可以表示为：
\[
A = PDP^{-1}
\]
其中 \( D \) 是对角矩阵，其对角元素为特征值 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \)：
\[
D =
\begin{bmatrix}
8 & 0 \\
0 & 1
\end{bmatrix}
\]
例二：三阶实对称矩阵
考虑一个三阶实对称矩阵 \( B \)：
\[
B =
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\]
第一步：计算特征值
同样地，我们先计算特征值。特征值 \( \lambda \) 满足方程：
\[
\det(B - \lambda I) = 0
\]
代入矩阵 \( B \)，得到：
\[
\det
\begin{bmatrix}
2-\lambda & 1 & 1 \\
1 & 2-\lambda & 1 \\
1 & 1 & 2-\lambda
\end{bmatrix} = (\lambda - 4)(\lambda - 1)^2 = 0
\]
因此，特征值为 \( \lambda_1 = 4 \) 和 \( \lambda_2 = 1 \)（重根）。
第二步：求特征向量
对于每个特征值，我们分别求出对应的特征向量。
- 对于 \( \lambda_1 = 4 \)：
解方程组 \( (B - 4I)\mathbf{x} = 0 \)，即：
\[
\begin{bmatrix}
-2 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]
化简后可得 \( x_1 = x_2 = x_3 \)，取 \( x_1 = 1 \)，则特征向量为 \( \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
- 对于 \( \lambda_2 = 1 \)：
解方程组 \( (B - I)\mathbf{x} = 0 \)，即：
\[
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
\end{bmatrix}
\]
化简后可得 \( x_1 + x_2 + x_3 = 0 \)，取 \( x_2 = 1, x_3 = 0 \)，则特征向量为 \( \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \)。再取 \( x_2 = 0, x_3 = 1 \)，则特征向量为 \( \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
第三步：构造正交矩阵
由于 \( B \) 是实对称矩阵，其特征向量可以正交化。对 \( \mathbf{v}_1 \)、\( \mathbf{v}_2 \) 和 \( \mathbf{v}_3 \) 进行单位化，得到正交矩阵 \( Q \)：
\[
Q =
\begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{bmatrix}
\]
第四步：对角化
最终，\( B \) 可以表示为：
\[
B = QDQ^{-1}
\]
其中 \( D \) 是对角矩阵，其对角元素为特征值 \( \lambda_1 \) 和 \( \lambda_2 \)：
\[
D =
\begin{bmatrix}
4 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\]
结论
通过对以上两个例子的分析，我们可以看到，实对称矩阵的对角化过程包括计算特征值和特征向量，并通过正交化构造正交矩阵 \( P \) 或 \( Q \)，最终实现对角化。这一过程不仅在理论上具有重要意义，也在实际应用中提供了强大的工具。
