在物理学中，完全弹性碰撞是指两个物体在相互作用过程中既没有能量损失，也没有外力干扰的一种理想化碰撞模型。在这种情况下，动量和动能都守恒。为了更好地理解完全弹性碰撞的本质，我们可以通过数学推导来得出两物体碰撞后的速度公式。

一、基本假设与前提条件

1. 系统内只有保守力作用，即不存在非弹性能量损耗。

2. 两物体质量分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\)，碰撞前的速度分别为 \(u_1\) 和 \(u_2\)，碰撞后的速度分别为 \(v_1\) 和 \(v_2\)。

3. 动量守恒定律：\(m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2\)

4. 能量守恒定律：\(\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2\)

二、速度公式的推导

根据上述两个守恒定律，我们可以列出以下方程组：

\[m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2 \tag{1}\]

\[\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 \tag{2}\]

第一步：从动量守恒式(1)解出 \(v_1\) 或 \(v_2\)

假设我们解出 \(v_1\)：

\[v_1 = \frac{m_1u_1 + m_2u_2 - m_2v_2}{m_1} \tag{3}\]

第二步：将 (3) 式代入能量守恒式(2)，消去 \(v_1\)

经过一系列代数运算后，可以得到关于 \(v_2\) 的表达式：

\[v_2 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2m_2u_2}{m_1 + m_2} \tag{4}\]

类似地，也可以得到 \(v_1\) 的表达式：

\[v_1 = \frac{(m_2 - m_1)u_2 + 2m_1u_1}{m_1 + m_2} \tag{5}\]

三、结论

通过以上推导，我们得到了完全弹性碰撞中两物体碰撞后速度的公式：

\[v_1 = \frac{(m_2 - m_1)u_2 + 2m_1u_1}{m_1 + m_2}\]

\[v_2 = \frac{(m_1 - m_2)u_1 + 2m_2u_2}{m_1 + m_2}\]

这些公式揭示了碰撞后速度如何依赖于物体的质量比以及初始速度。当两物体质量相等时，它们会在碰撞后交换速度；而当一个物体的质量远大于另一个物体时，轻物体几乎会以原速反弹，而重物体会几乎没有变化。

通过对完全弹性碰撞速度公式的深入理解，不仅能够帮助我们解决实际物理问题，还能加深对经典力学基本原理的认识。