在数学领域中，微分方程是一门非常重要的分支，它广泛应用于物理、工程、经济等众多学科之中。为了帮助大家更好地理解微分方程的概念以及掌握其求解方法，本文将对一些常见的微分方程类型进行通解整理，并附上相应的习题与答案。

首先，我们来回顾一下一阶线性微分方程的标准形式：

\[y' + p(x)y = q(x)\]

对于这类方程，我们可以使用积分因子法来求解。具体步骤如下：

1. 确定积分因子 \(u(x) = e^{\int p(x)dx}\)。

2. 将原方程两边同时乘以积分因子 \(u(x)\)，得到一个新的方程。

3. 新方程左边可以写成一个全导数的形式，右边则需要进行积分运算。

接下来，我们来看一个具体的例子。假设我们有以下一阶线性微分方程：

\[y' - 2xy = x\]

按照上述步骤，首先计算积分因子 \(u(x) = e^{\int -2x dx} = e^{-x^2}\)。然后将原方程两边乘以这个积分因子，得到：

\[e^{-x^2}y' - 2xe^{-x^2}y = xe^{-x^2}\]

左边可以改写为 \(\frac{d}{dx}(ye^{-x^2})\)，于是方程变为：

\[\frac{d}{dx}(ye^{-x^2}) = xe^{-x^2}\]

对两边积分后得到：

\[ye^{-x^2} = \int xe^{-x^2} dx + C\]

通过简单的变量替换，可以求得右边的积分值，最终得到通解。

接着，我们再来看看二阶常系数齐次线性微分方程：

\[ay'' + by' + cy = 0\]

这类方程可以通过特征方程 \(ar^2 + br + c = 0\) 来求解。根据特征根的不同情况（实根、复根或重根），可以分别写出对应的通解形式。

例如，当特征方程有两个不同的实根 \(r_1, r_2\) 时，通解为：

\[y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}\]

如果特征根是复数，则通解会包含三角函数项。

最后，这里提供几道练习题供读者巩固所学知识：

1. 求解下列一阶线性微分方程的通解：\(y' + 3y = 6\)

2. 解二阶常系数齐次线性微分方程：\(y'' - 4y' + 4y = 0\)

3. 对于非齐次方程 \(y'' - y = e^x\)，请找出特解并给出完整的通解。

希望以上内容能够为大家学习微分方程提供一定的帮助！