在高等数学的学习过程中，定积分的计算是一个重要的环节。其中，分部积分法是解决某些复杂定积分问题的有效工具之一。分部积分法基于乘积函数的微分法则，其公式为：
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
接下来，我们将通过几个典型的例题来深入理解并掌握这一方法的应用。
例题一：基础应用
题目：计算定积分 \(\int_0^{\pi} x \sin x \, dx\)
解答：
令 \( u = x \)，则 \( du = dx \)；
令 \( dv = \sin x \, dx \)，则 \( v = -\cos x \)。
根据分部积分公式：
\[
\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} (-\cos x) \, dx
\]
计算第一项：
\[
\left[ -x \cos x \right]_0^{\pi} = -\pi \cos \pi - (0 \cdot \cos 0) = \pi
\]
计算第二项：
\[
-\int_0^{\pi} (-\cos x) \, dx = \int_0^{\pi} \cos x \, dx = \left[ \sin x \right]_0^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0
\]
因此，原积分结果为：
\[
\int_0^{\pi} x \sin x \, dx = \pi + 0 = \pi
\]
例题二：涉及指数函数
题目：计算定积分 \(\int_0^1 x e^x \, dx\)
解答：
令 \( u = x \)，则 \( du = dx \)；
令 \( dv = e^x \, dx \)，则 \( v = e^x \)。
根据分部积分公式：
\[
\int_0^1 x e^x \, dx = \left[ x e^x \right]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx
\]
计算第一项：
\[
\left[ x e^x \right]_0^1 = 1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0 = e
\]
计算第二项：
\[
\int_0^1 e^x \, dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1
\]
因此，原积分结果为：
\[
\int_0^1 x e^x \, dx = e - (e - 1) = 1
\]
例题三：三角函数与多项式结合
题目：计算定积分 \(\int_0^{\pi/2} x^2 \cos x \, dx\)
解答：
令 \( u = x^2 \)，则 \( du = 2x \, dx \)；
令 \( dv = \cos x \, dx \)，则 \( v = \sin x \)。
根据分部积分公式：
\[
\int_0^{\pi/2} x^2 \cos x \, dx = \left[ x^2 \sin x \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 2x \sin x \, dx
\]
计算第一项：
\[
\left[ x^2 \sin x \right]_0^{\pi/2} = \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \sin \frac{\pi}{2} - 0^2 \sin 0 = \frac{\pi^2}{4}
\]
对于第二项，再次使用分部积分法。令 \( u = 2x \)，则 \( du = 2 \, dx \)；
令 \( dv = \sin x \, dx \)，则 \( v = -\cos x \)。
继续计算：
\[
\int_0^{\pi/2} 2x \sin x \, dx = \left[ -2x \cos x \right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} (-2 \cos x) \, dx
\]
计算第一项：
\[
\left[ -2x \cos x \right]_0^{\pi/2} = -2 \cdot \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} - (-2 \cdot 0 \cos 0) = 0
\]
计算第二项：
\[
-\int_0^{\pi/2} (-2 \cos x) \, dx = 2 \int_0^{\pi/2} \cos x \, dx = 2 \left[ \sin x \right]_0^{\pi/2} = 2 (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) = 2
\]
因此，第二项结果为：
\[
\int_0^{\pi/2} 2x \sin x \, dx = 0 + 2 = 2
\]
最终结果为：
\[
\int_0^{\pi/2} x^2 \cos x \, dx = \frac{\pi^2}{4} - 2
\]
以上三个例题展示了分部积分法在不同场景下的应用。通过熟练掌握分部积分的基本步骤和技巧，可以更高效地解决复杂的定积分问题。希望这些例题能够帮助你更好地理解和运用这一重要方法！
