在数学中，分数形式的函数是一种常见的表达方式，它通常表示为f(x) = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是x的函数，并且v(x) ≠ 0。当我们需要求解这种分数形式函数的导数时，可以使用所谓的“分数的导数公式”，也被称为商法则。

商法则的基本形式如下：

如果 f(x) = u(x)/v(x)，那么 f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]^2

这里，u'(x) 表示u(x)对x的导数，而v'(x) 表示v(x)对x的导数。

这个公式的推导可以通过极限定义来完成，也可以通过乘积法则结合链式法则得到。其核心思想在于将分数形式的函数分解成两个部分——分子和分母，并分别对它们进行微分处理。

为了更好地理解这一概念，让我们来看一个具体的例子。假设我们有函数 f(x) = (3x + 2)/(x - 1)。根据商法则，首先我们需要找出u(x)和v(x)，即 u(x) = 3x + 2 和 v(x) = x - 1。接下来计算各自的导数：u'(x) = 3 和 v'(x) = 1。然后代入公式：

f'(x) = [(3)(x - 1) - (3x + 2)(1)] / (x - 1)^2

= [3x - 3 - 3x - 2] / (x - 1)^2

= (-5) / (x - 1)^2

因此，函数 f(x) 的导数为 f'(x) = -5/(x - 1)^2。

需要注意的是，在应用商法则时，必须确保分母不为零，否则会导致数学上的未定义情况。此外，对于更复杂的分数形式函数，可能还需要结合其他微积分技巧如链式法则或幂法则等来进行进一步简化和求解。

总之，“分数的导数公式”提供了一种有效的方法来处理包含变量作为分母的函数求导问题。熟练掌握并灵活运用这一工具对于解决各种实际问题具有重要意义。