在数学的学习过程中，分式的相关知识是非常重要的一部分。分式不仅在代数运算中占有重要地位，而且在解决实际问题时也常常需要用到。为了帮助大家更好地掌握分式的相关知识点，下面将为大家提供一些分式的练习题，并附上详细的解答过程。
练习题一：分式的基本性质
题目：
已知分式 \(\frac{a}{b}\)，若 \(a\) 和 \(b\) 同时乘以一个非零常数 \(c\)，则新的分式为？
解析：
根据分式的基本性质，分式的值不会因为分子和分母同时乘以同一个不为零的数而改变。因此，当 \(a\) 和 \(b\) 同时乘以 \(c\) 之后，新的分式为 \(\frac{ac}{bc}\)。由于 \(c \neq 0\)，可以约去 \(c\)，所以新的分式与原分式相等，即 \(\frac{a}{b}\)。
练习题二：分式的加减法
题目：
计算 \(\frac{x}{x+1} + \frac{1}{x-1}\)
解析：
要进行分式的加法运算，首先需要找到公分母。这里两个分式的公分母为 \((x+1)(x-1)\)。接下来，我们将每个分式通分为相同的分母：
\[
\frac{x}{x+1} = \frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)}
\]
\[
\frac{1}{x-1} = \frac{x+1}{(x+1)(x-1)}
\]
然后进行加法运算：
\[
\frac{x(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 - x + x + 1}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2 + 1}{(x+1)(x-1)}
\]
最终结果为 \(\frac{x^2 + 1}{(x+1)(x-1)}\)。
练习题三：分式的乘除法
题目：
计算 \(\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \div \frac{x+2}{x-3}\)
解析：
分式的除法可以通过转化为乘法来简化。具体步骤如下：
\[
\frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \div \frac{x+2}{x-3} = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 9} \cdot \frac{x-3}{x+2}
\]
接着对分子和分母进行因式分解：
\[
x^2 - 4 = (x+2)(x-2), \quad x^2 - 9 = (x+3)(x-3)
\]
将其代入后得到：
\[
\frac{(x+2)(x-2)}{(x+3)(x-3)} \cdot \frac{x-3}{x+2}
\]
约去公共因子 \((x+2)\) 和 \((x-3)\)，最终结果为：
\[
\frac{x-2}{x+3}
\]
通过以上三个练习题及其详细解答，相信同学们对分式的相关运算有了更深入的理解。希望这些题目能够帮助大家巩固基础知识，并提高解题能力。如果还有其他疑问，欢迎随时提问！
