在数学的世界里，数列是一种有序排列的数字集合，它们按照一定的规律依次排列。数列不仅是数学研究的重要对象，也是解决实际问题的重要工具。为了帮助大家更好地理解和掌握数列的相关知识，本文将对常见的数列公式进行汇总，希望能为大家的学习提供便利。

一、等差数列

等差数列是最基本的数列类型之一，其特点是每一项与前一项的差值相等。设首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为：

$$

a_n = a_1 + (n-1)d

$$

等差数列的前$n$项和公式为：

$$

S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n)

$$

二、等比数列

等比数列的特点是每一项与前一项的比值相等。设首项为$a_1$，公比为$q$，则等比数列的通项公式为：

$$

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

$$

等比数列的前$n$项和公式为：

$$

S_n =

\begin{cases}

a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}, & q \neq 1 \\

n \cdot a_1, & q = 1

\end{cases}

$$

三、斐波那契数列

斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其定义为：

$$

F_n = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_0 = 0, F_1 = 1

$$

虽然没有简单的通项公式，但可以通过矩阵快速幂或黄金分割比例近似计算。

四、调和数列

调和数列的形式为$\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots$，其前$n$项和为：

$$

H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}

$$

调和数列的增长速度较慢，但与自然对数有密切关系。

五、平方数列与立方数列

平方数列的通项公式为：

$$

a_n = n^2

$$

立方数列的通项公式为：

$$

a_n = n^3

$$

六、其他特殊数列

还有一些特殊的数列，如阶乘数列$a_n = n!$、指数数列$a_n = 2^n$等，这些数列在组合数学和概率论中有着广泛的应用。

通过以上公式的总结，我们可以看到数列的多样性和复杂性。希望这些公式能帮助大家在学习和解决问题时更加得心应手！

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希望这篇文章能够满足您的需求！