在学习计算方法这门课程时，课后习题是巩固知识的重要环节。通过解答这些问题，我们不仅能够加深对理论的理解，还能提高解决实际问题的能力。以下是对一些典型课后习题的答案解析，希望能帮助大家更好地掌握相关知识点。
例题一：数值积分
题目描述：利用梯形公式计算函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的积分值，并与精确值进行比较。
解题步骤：
1. 确定公式：梯形公式的基本形式为 \(\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2}[f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(b)]\)，其中 \(h = \frac{b-a}{n}\)，\(x_i = a + ih\)。
2. 代入数据：对于本题，\(a=0\)，\(b=2\)，选择\(n=4\)（即分成四个子区间），则\(h = \frac{2-0}{4} = 0.5\)。
3. 计算各点函数值：分别计算\(f(0)\), \(f(0.5)\), \(f(1)\), \(f(1.5)\), \(f(2)\)。
4. 代入公式求和：将上述值代入梯形公式计算积分近似值。
5. 比较结果：与精确积分值\( \int_0^2 x^2 dx = \frac{x^3}{3}|_0^2 = \frac{8}{3}\)对比。
答案解析：经过计算，梯形公式的近似值为2.625，而精确值为2.6667，误差约为1.5%，说明该方法具有一定的准确性。
例题二：线性方程组求解
题目描述：使用高斯消元法求解线性方程组：
\[
\begin{cases}
2x + y - z = 8 \\
-3x - y + 2z = -11 \\
-2x + y + 2z = -3
\end{cases}
\]
解题步骤：
1. 构建增广矩阵：将系数矩阵与常数项组合成增广矩阵。
2. 进行行变换：逐步将矩阵化为上三角形式。
3. 回代求解：从最后一行开始逐个求解未知数。
答案解析：经过计算，最终得到解为\(x=2, y=3, z=-1\)。此过程展示了高斯消元法的有效性和步骤清晰性。
以上两个例子展示了计算方法中常见问题的处理方式。通过这些练习，我们可以更熟练地应用各种算法来解决问题。希望同学们能够在实践中不断总结经验，提升自己的能力。
