在高等数学的学习过程中，极限与连续性是两个非常重要的概念。它们不仅是微积分的基础，也是理解函数行为的关键所在。为了帮助大家更好地掌握这些知识点，下面我们将通过一些典型的习题来深入探讨极限与连续性的相关问题。

首先来看一个关于极限的基本题目：

例题1：求函数 \(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) 在 \(x=2\) 处的极限。

解答：直接代入 \(x=2\) 会导致分母为零，因此需要先化简函数表达式。注意到分子可以分解为 \((x+2)(x-2)\)，所以原式可简化为：

\[

f(x) = x + 2, \quad (x \neq 2)

\]

由此可知，当 \(x\) 接近 2 时，\(f(x)\) 的值趋近于 4。因此，

\[

\lim_{x \to 2} f(x) = 4.

\]

接下来我们考虑连续性的判断问题：

例题2：讨论函数 \(g(x) = |x|\) 在 \(x=0\) 点处的连续性。

解答：根据定义，若函数 \(g(x)\) 在某点 \(x_0\) 处连续，则必须满足以下三个条件：

1. \(g(x_0)\) 存在；

2. \(\lim_{x \to x_0} g(x)\) 存在；

3. \(\lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0)\).

对于 \(g(x) = |x|\)，显然 \(g(0) = 0\)。再考察左右极限：

\[

\lim_{x \to 0^-} g(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0,

\]

\[

\lim_{x \to 0^+} g(x) = \lim_{x \to 0^+} x = 0.

\]

由于左极限等于右极限且等于函数值，故 \(g(x)\) 在 \(x=0\) 处连续。

最后，让我们尝试解决一个稍微复杂一点的问题：

例题3：证明函数 \(h(x) = \sin(\frac{1}{x})\) 当 \(x \to 0\) 时没有极限。

解答：观察到 \(\sin(\frac{1}{x})\) 是一个振荡函数，其值随着 \(x\) 接近 0 而剧烈变化。具体来说，当 \(x\) 接近 0 时，\(\frac{1}{x}\) 可以取遍所有正整数倍数的奇数或偶数次方根，从而使得 \(\sin(\frac{1}{x})\) 的值在 -1 和 1 之间来回摆动。因此，无论从哪一侧接近 0，都无法找到一个确定的数值作为极限。这表明 \(h(x)\) 在 \(x=0\) 处不存在极限。

以上就是几个关于极限与连续性的典型习题及其解答过程。希望这些例子能够加深你对这两个重要概念的理解，并为今后更复杂的数学分析打下坚实的基础。如果你还有其他疑问或者想要了解更多的练习题，请随时提问！