在高等数学的学习过程中，极限是一个非常基础且重要的概念。它不仅是理解微积分的核心，也是解决实际问题的重要工具。接下来，我们将通过一些典型的习题来加深对极限的理解，并提供详细的解答。
习题一：计算函数极限
设函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} $，求 $\lim_{x \to 2} f(x)$。
解答：
首先，直接代入 $ x = 2 $ 时，分母为零，无法直接计算。因此，我们需要对分子进行因式分解：
$$
f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
$$
当 $ x \neq 2 $ 时，可以约去 $ x-2 $，得到：
$$
f(x) = x + 2.
$$
因此，
$$
\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.
$$
习题二：无穷大与无穷小的关系
已知函数 $ g(x) = \frac{\sin x}{x} $，讨论当 $ x \to \infty $ 时，$ g(x) $ 的极限。
解答：
我们知道，$\sin x$ 是一个有界函数，其值域为 $[-1, 1]$。而分母 $ x $ 趋向于无穷大时，$\frac{1}{x}$ 趋向于零。因此，$\frac{\sin x}{x}$ 的绝对值也趋向于零：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0.
$$
习题三：复合函数的极限
设函数 $ h(x) = e^{x^2 - 3x} $，求 $\lim_{x \to \infty} h(x)$。
解答：
对于复合函数 $ h(x) = e^{x^2 - 3x} $，我们需要先分析指数部分 $ x^2 - 3x $ 的行为。当 $ x \to \infty $ 时，$ x^2 $ 的增长速度远快于 $ 3x $，因此：
$$
x^2 - 3x \to \infty \quad \text{当 } x \to \infty.
$$
于是，
$$
h(x) = e^{x^2 - 3x} \to \infty \quad \text{当 } x \to \infty.
$$
以上是几个典型的极限习题及其解答。希望这些题目能够帮助大家更好地掌握极限的概念和计算方法。如果还有其他疑问，欢迎继续探讨！
