在数学学习中，公因数和最大公因数是整数运算中的重要概念，尤其在分数化简、约分以及实际问题的解决中有着广泛的应用。为了帮助同学们更好地掌握这一知识点，下面提供一份关于“公因数与最大公因数”的同步练习题，帮助大家巩固所学内容。

一、填空题

1. 12 和 18 的公因数有 ________，其中最大的是 ________。

2. 两个数的最大公因数是它们的 ________ 因数中最大的一个。

3. 如果 a 和 b 的最大公因数是 d，那么 d 是 a 和 b 的 ________。

4. 用短除法求 24 和 36 的最大公因数时，最后的商是 ________。

5. 10 和 15 的最大公因数是 ________。

二、选择题

1. 下列哪一组数的最大公因数是 5？

A. 10 和 15

B. 12 和 18

C. 20 和 25

D. 8 和 12

2. 两个数的最大公因数不可能比这两个数中的 ________ 大。

A. 较大的数

B. 较小的数

C. 任意一个

D. 都不是

3. 下列说法正确的是：

A. 任何两个数都有最大公因数

B. 最大公因数可以是 0

C. 1 和任何数的最大公因数是 1

D. 所有数的最大公因数都是它本身

4. 16 和 24 的最大公因数是：

A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

5. 如果 a ÷ b = 5（a 和 b 都是正整数），那么 a 和 b 的最大公因数是：

A. a

B. b

C. 5

D. 无法确定

三、判断题

1. 1 是所有整数的公因数。（ ）

2. 两个不同的质数的最大公因数是 1。（ ）

3. 12 和 18 的最大公因数是 6。（ ）

4. 任何两个数的最大公因数一定小于或等于这两个数中的较小者。（ ）

5. 如果两个数互质，那么它们的最大公因数是 1。（ ）

四、解答题

1. 求 36 和 48 的最大公因数，并写出它们的所有公因数。

2. 用短除法求 20 和 30 的最大公因数。

3. 小明有一些糖果，他想平均分给 6 个朋友或 8 个朋友，结果都刚好分完，没有剩余。这些糖果的数量可能是多少？请写出至少三个可能的数值。

4. 甲数是 24，乙数是 36，求它们的最大公因数。

5. 写出 15 和 20 的所有公因数，并找出其中的最大公因数。

五、拓展题（选做）

1. 有一个数，它同时是 12 和 18 的倍数，也是 9 和 15 的倍数，这个数最小是多少？

2. 如果两个数的最大公因数是 7，且其中一个数是 21，另一个数可能是多少？请写出至少两个可能的答案。

3. 用分解质因数的方法求 42 和 63 的最大公因数。

通过以上练习题，希望同学们能够熟练掌握公因数和最大公因数的概念及计算方法，提升自己的数学思维能力和解题技巧。在日常学习中，多做练习、勤于思考，才能真正理解和运用这些数学知识。