【7.2.2用坐标表示平移[资料]】在平面几何中，平移是一种基本的图形变换方式。它指的是将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其大小、形状和方向。在数学中，为了更精确地描述平移的过程，我们通常使用坐标系来表示图形的位置变化。

一、平移的基本概念

平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照同一方向移动相同的距离。这种变换不涉及旋转或翻转，因此图形的大小、形状和方向都保持不变。在数学中，平移可以通过向量来表示，向量给出了移动的方向和距离。

例如，如果一个点从点A(x, y)移动到点B(x + a, y + b)，那么这个移动可以看作是沿着向量(a, b)进行的平移。

二、坐标系中的平移表示

在直角坐标系中，每个点都可以用一对有序实数（x, y）来表示。当图形发生平移时，每个点的坐标都会按照相同的方向和距离发生变化。

假设有一个点P(x, y)，经过一次平移后，该点移动到了点P'(x', y')。如果平移的向量为(a, b)，则有：

$$

x' = x + a \\

y' = y + b

$$

这说明，平移后的点的横坐标等于原点的横坐标加上平移向量的横分量，纵坐标同理。

三、图形的平移

不仅单个点可以被平移，整个图形也可以通过平移来改变位置。例如，一个三角形ABC，其三个顶点的坐标分别为A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂)、C(x₃, y₃)，如果将其沿向量(a, b)平移，则新的三个顶点坐标为：

- A'(x₁ + a, y₁ + b)

- B'(x₂ + a, y₂ + b)

- C'(x₃ + a, y₃ + b)

这样，整个图形就整体移动到了新的位置，但形状和大小没有发生变化。

四、平移的应用

平移在实际生活中有着广泛的应用。例如，在计算机图形学中，平移常用于动画制作和图像处理；在建筑和工程设计中，平移可以帮助设计师调整物体的位置；在数学建模中，平移则是研究图形变换的重要工具。

此外，在数学学习中，理解如何用坐标表示平移有助于学生更好地掌握图形变换的概念，并为后续学习旋转、对称等变换打下基础。

五、总结

通过坐标系，我们可以准确地描述平移的过程。无论是单个点还是复杂的图形，只要知道平移的向量，就可以计算出平移后的新坐标。这种表示方法不仅直观，而且便于计算和应用。

掌握用坐标表示平移的方法，有助于提高空间想象能力和逻辑思维能力，是学习几何的重要基础之一。