【高一数学(人教A版)复数的乘除运算-1教案x】一、教学目标
1. 知识与技能
理解复数的乘法和除法运算法则，掌握复数在代数形式下的乘除运算方法，并能熟练进行相关计算。
2. 过程与方法
通过类比实数的运算规则，引导学生探究复数的乘除法则，提升学生的逻辑思维能力和运算能力。
3. 情感态度与价值观
激发学生对复数运算的兴趣，体会数学的严谨性与实用性，培养学生的合作意识与探索精神。
二、教学重点与难点
- 重点：复数的乘法与除法的运算法则及应用。
- 难点：复数除法中分母有理化的处理方法。
三、教学准备
- 教材：《高中数学（人教A版）》必修第二册
- 教具：多媒体课件、黑板、粉笔、练习题纸
- 学生准备：预习复数的基本概念及加减法运算
四、教学过程
（一）导入新课（5分钟）
情境引入：
教师提问：“我们已经学习了复数的加减法，那么如果两个复数相乘或相除，结果会是什么样的呢？有没有什么规律可以遵循？”
引导学生回忆复数的定义：复数是形如 $ a + bi $ 的数，其中 $ a, b \in \mathbb{R} $，$ i^2 = -1 $。
引出课题：今天我们来学习复数的乘法与除法运算。
（二）讲授新知（20分钟）
1. 复数的乘法运算
法则：
设 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，其中 $ a, b, c, d \in \mathbb{R} $，则：
$$
z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i
$$
注意：利用分配律展开，再合并同类项，并用 $ i^2 = -1 $ 进行化简。
例题1：
计算 $ (2 + 3i)(1 - i) $
解：
$$
(2 + 3i)(1 - i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 1 + 3i \cdot (-i) \\
= 2 - 2i + 3i - 3i^2 \\
= 2 + i - 3(-1) \\
= 2 + i + 3 = 5 + i
$$
巩固练习：
计算 $ (4 - 2i)(3 + 5i) $
2. 复数的除法运算
法则：
设 $ z_1 = a + bi $，$ z_2 = c + di $，其中 $ c^2 + d^2 \neq 0 $，则：
$$
\frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di}
$$
为方便计算，通常将分母有理化，即乘以共轭复数 $ c - di $：
$$
\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}
$$
注意：分母有理化是关键步骤，需特别强调。
例题2：
计算 $ \frac{1 + 2i}{3 - i} $
解：
$$
\frac{1 + 2i}{3 - i} = \frac{(1 + 2i)(3 + i)}{(3 - i)(3 + i)} = \frac{(1 \cdot 3 + 1 \cdot i + 2i \cdot 3 + 2i \cdot i)}{9 + 1} \\
= \frac{3 + i + 6i + 2i^2}{10} = \frac{3 + 7i - 2}{10} = \frac{1 + 7i}{10} = \frac{1}{10} + \frac{7}{10}i
$$
巩固练习：
计算 $ \frac{2 - i}{1 + 2i} $
（三）课堂小结（5分钟）
- 复数的乘法运算类似于多项式乘法，注意 $ i^2 = -1 $；
- 复数的除法需要将分母有理化，使用共轭复数进行化简；
- 运算过程中要仔细检查符号变化，避免计算错误。
（四）布置作业（2分钟）
1. 完成教材第85页习题1~4题；
2. 预习复数的几何意义（下一节课内容）；
3. 自主完成一道复数乘除混合运算题，写出详细步骤。
五、板书设计
```
复数的乘除运算（1）
一、复数的乘法
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
二、复数的除法
(a + bi)/(c + di) = [(a + bi)(c - di)] / (c² + d²)
```
六、教学反思（课后填写）
本节课通过实例讲解复数的乘除运算，帮助学生理解并掌握基本方法。部分学生在分母有理化环节仍存在困难，后续需加强练习与个别辅导。
