【第六章矩阵广义逆习题与解答】在矩阵理论中，广义逆矩阵是一个非常重要的概念，尤其在解决线性方程组、最小二乘问题以及数据分析等领域中有着广泛的应用。本章将围绕矩阵的广义逆展开讨论，通过一系列典型例题与详细解答，帮助读者深入理解广义逆的概念及其应用方法。
一、广义逆的基本概念
对于一个非奇异矩阵 $ A $，其逆矩阵 $ A^{-1} $ 是唯一存在的，并满足 $ AA^{-1} = A^{-1}A = I $。然而，当矩阵 $ A $ 是奇异矩阵或不是方阵时，通常无法定义传统的逆矩阵。此时，我们引入广义逆矩阵（也称为伪逆）来处理这类问题。
广义逆矩阵是指满足以下条件的矩阵 $ G $：
$$
AGA = A
$$
如果还满足：
$$
GAG = G
$$
则称 $ G $ 为 $ A $ 的 Moore-Penrose 广义逆，记作 $ A^+ $。
二、常见类型的广义逆
1. Moore-Penrose 逆：是最常用的一种广义逆，具有唯一性。
2. 左逆与右逆：若 $ A $ 是列满秩矩阵，则存在左逆 $ A_L^{-1} $ 满足 $ A_L^{-1}A = I $；若 $ A $ 是行满秩矩阵，则存在右逆 $ A_R^{-1} $ 满足 $ AA_R^{-1} = I $。
3. 加号逆：即 Moore-Penrose 逆，常用于求解最小二乘问题。
三、典型例题与解析
例题 1：
设矩阵
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{bmatrix}
$$
求其 Moore-Penrose 逆 $ A^+ $。
解：
首先，观察矩阵 $ A $ 的秩。由于第二行是第一行的两倍，故 $ \text{rank}(A) = 1 $，说明 $ A $ 是奇异矩阵，不能求普通逆。
我们可以使用奇异值分解（SVD）的方法求出 $ A^+ $。
对 $ A $ 进行 SVD 分解得：
$$
A = U \Sigma V^T
$$
其中：
$$
U = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} \\
\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}}
\end{bmatrix}, \quad
\Sigma = \begin{bmatrix}
\sqrt{5} & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}, \quad
V = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{2}{\sqrt{5}} \\
\frac{2}{\sqrt{5}} & -\frac{1}{\sqrt{5}}
\end{bmatrix}
$$
因此，
$$
A^+ = V \Sigma^+ U^T
$$
其中 $ \Sigma^+ $ 是将 $ \Sigma $ 中非零奇异值取倒数后得到的矩阵：
$$
\Sigma^+ = \begin{bmatrix}
\frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\
0 & 0
\end{bmatrix}
$$
计算得：
$$
A^+ = \begin{bmatrix}
\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \\
\frac{2}{5} & \frac{4}{5}
\end{bmatrix}
$$
例题 2：
设 $ A $ 为一个 $ m \times n $ 矩阵，且 $ A^T A $ 可逆，试证明 $ A^+ = (A^T A)^{-1} A^T $。
证明：
我们验证该表达式是否满足 Moore-Penrose 逆的四个条件。
1. $ A A^+ A = A $：
$$
A A^+ A = A (A^T A)^{-1} A^T A = A
$$
成立。
2. $ A^+ A A^+ = A^+ $：
$$
A^+ A A^+ = (A^T A)^{-1} A^T A (A^T A)^{-1} A^T = (A^T A)^{-1} A^T = A^+
$$
成立。
3. $ (A A^+)^T = A A^+ $：
$$
(A A^+)^T = [A (A^T A)^{-1} A^T]^T = A (A^T A)^{-1} A^T = A A^+
$$
成立。
4. $ (A^+ A)^T = A^+ A $：
$$
(A^+ A)^T = [(A^T A)^{-1} A^T A]^T = (A^T A)^{-1} A^T A = A^+ A
$$
成立。
因此，$ A^+ = (A^T A)^{-1} A^T $ 是 $ A $ 的 Moore-Penrose 逆。
四、总结
本章通过对广义逆的定义、分类及具体应用进行讲解，结合多个实例加深了对广义逆的理解。广义逆不仅是矩阵理论的重要组成部分，也在实际工程和科学计算中发挥着关键作用。掌握广义逆的性质与计算方法，有助于更高效地处理非方阵和奇异矩阵的问题。
