【高一数学必修一习题精选】在高中阶段，数学作为一门基础学科，对于学生的逻辑思维和问题解决能力有着重要的培养作用。而高一数学必修一作为整个高中数学的起点，内容涵盖了集合与函数、基本初等函数、三角函数以及数列等核心知识点。为了帮助同学们更好地掌握这些内容，巩固基础知识，提高解题能力，以下是一些精选的习题，涵盖多个典型题型，适合课后练习和复习使用。
一、集合与常用逻辑用语
例题1：
已知集合 $ A = \{x \mid x^2 - 5x + 6 = 0\} $，集合 $ B = \{x \mid x < 3\} $，求 $ A \cap B $。
解析：
先解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $，得 $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $，所以 $ A = \{2, 3\} $。
又因为 $ B = \{x \mid x < 3\} $，所以 $ A \cap B = \{2\} $。
二、函数及其性质
例题2：
已知函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，求其最小值及对应的 $ x $ 值。
解析：
该函数为二次函数，开口向上，顶点处取得最小值。
顶点横坐标为 $ x = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2 $，代入得 $ f(2) = 4 - 8 + 3 = -1 $。
因此，最小值为 $ -1 $，对应 $ x = 2 $。
三、指数函数与对数函数
例题3：
计算：$ \log_2 8 + \log_3 9 - \log_{10} 100 $。
解析：
$ \log_2 8 = 3 $，因为 $ 2^3 = 8 $；
$ \log_3 9 = 2 $，因为 $ 3^2 = 9 $；
$ \log_{10} 100 = 2 $，因为 $ 10^2 = 100 $。
所以原式等于 $ 3 + 2 - 2 = 3 $。
四、三角函数
例题4：
已知 $ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $，且 $ \theta $ 在第二象限，求 $ \cos \theta $ 的值。
解析：
由于 $ \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ \theta $ 可能是 $ 60^\circ $ 或 $ 120^\circ $。
因为 $ \theta $ 在第二象限，所以 $ \theta = 120^\circ $。
此时 $ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $。
五、数列与不等式
例题5：
等差数列中，已知 $ a_1 = 3 $，公差 $ d = 2 $，求第 10 项 $ a_{10} $。
解析：
等差数列通项公式为 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $。
代入得 $ a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 18 = 21 $。
六、综合应用题
例题6：
设函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $，化简该函数，并指出其定义域。
解析：
分子可因式分解为 $ (x - 1)(x + 1) $，所以
$ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 $（当 $ x \neq 1 $）。
因此，函数化简为 $ f(x) = x + 1 $，定义域为 $ x \in \mathbb{R} $ 且 $ x \neq 1 $。
总结
高一数学必修一的内容虽然基础，但却是后续学习的重要基石。通过系统地练习这些习题，可以帮助学生深入理解概念，提升解题技巧，为今后的学习打下坚实的基础。建议同学们在学习过程中注重归纳总结，多思考、多动手，逐步形成自己的数学思维体系。
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