【材料力学公式大全.】在工程设计与结构分析中，材料力学是一门非常重要的基础学科。它研究物体在外力作用下的变形、应力、应变以及破坏规律。掌握材料力学的基本公式，对于理解构件的承载能力、稳定性及安全性能具有重要意义。以下是一些常见的材料力学公式整理，供参考。
一、基本概念
1. 应力（Stress）
应力是单位面积上的内力，分为正应力（σ）和剪应力（τ）。
$$
\sigma = \frac{F}{A}, \quad \tau = \frac{V}{A}
$$
其中：
- $ F $ 为作用力（N）
- $ A $ 为受力面积（m²）
- $ V $ 为剪切力（N）
2. 应变（Strain）
应变是物体形变的程度，分为线应变（ε）和剪应变（γ）。
$$
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}, \quad \gamma = \frac{\Delta x}{h}
$$
其中：
- $ \Delta L $ 为长度变化量
- $ L_0 $ 为原始长度
- $ \Delta x $ 为剪切位移
- $ h $ 为高度
3. 胡克定律（Hooke’s Law）
在弹性范围内，应力与应变成正比。
$$
\sigma = E \cdot \varepsilon
$$
其中：
- $ E $ 为弹性模量（Pa）
二、轴向拉压
1. 轴向拉伸/压缩应力
$$
\sigma = \frac{P}{A}
$$
其中：$ P $ 为轴向力
2. 轴向变形
$$
\delta = \frac{PL}{EA}
$$
其中：
- $ \delta $ 为轴向变形
- $ L $ 为杆件长度
3. 泊松比（Poisson's Ratio）
$$
\nu = -\frac{\varepsilon_{\text{transverse}}}{\varepsilon_{\text{axial}}}
$$
三、扭转
1. 扭转角
$$
\theta = \frac{T L}{G J}
$$
其中：
- $ T $ 为扭矩
- $ G $ 为剪切模量
- $ J $ 为极惯性矩
2. 剪应力
$$
\tau = \frac{T r}{J}
$$
其中：$ r $ 为半径
四、弯曲
1. 弯曲应力
$$
\sigma = \frac{M y}{I}
$$
其中：
- $ M $ 为弯矩
- $ y $ 为到中性轴的距离
- $ I $ 为截面惯性矩
2. 弯曲挠度
对于简支梁，集中载荷作用下挠度公式为：
$$
\delta = \frac{P L^3}{48 E I}
$$
3. 截面惯性矩
圆形截面：
$$
I = \frac{\pi D^4}{64}
$$
矩形截面：
$$
I = \frac{b h^3}{12}
$$
五、组合变形
1. 拉弯组合
总应力为拉应力与弯曲应力之和：
$$
\sigma_{\text{total}} = \frac{P}{A} + \frac{M y}{I}
$$
2. 压弯组合
$$
\sigma_{\text{total}} = \frac{P}{A} - \frac{M y}{I}
$$
六、稳定性和临界载荷
1. 欧拉临界载荷
$$
P_{cr} = \frac{\pi^2 E I}{(K L)^2}
$$
其中：$ K $ 为长度系数
2. 柔度（Slenderness Ratio）
$$
\lambda = \frac{K L}{r}
$$
其中：$ r $ 为回转半径
七、其他常用公式
- 截面模量（Section Modulus）
$$
Z = \frac{I}{c}
$$
其中：$ c $ 为最远纤维至中性轴的距离
- 弯曲刚度
$$
EI
$$
- 剪切变形
$$
\gamma = \frac{\tau}{G}
$$
结语
材料力学公式的掌握不仅有助于理解构件的受力状态，还能为实际工程设计提供理论依据。建议结合具体工程问题进行深入学习与实践应用，以提升分析与解决实际问题的能力。
