【相关系数r的计算公式高中数学】在高中数学中，相关系数r是用来衡量两个变量之间线性关系的强弱和方向的一个统计量。它通常用于数据分析、统计学基础以及实际问题的建模中。相关系数r的取值范围在-1到1之间，数值越接近1或-1，表示两个变量之间的线性关系越强；数值接近0，则表示两者之间几乎没有线性关系。
一、相关系数r的定义
相关系数r（Pearson相关系数）是通过以下公式计算的：
$$
r = \frac{n\sum xy - (\sum x)(\sum y)}{\sqrt{[n\sum x^2 - (\sum x)^2][n\sum y^2 - (\sum y)^2]}}
$$
其中：
- $ n $：数据对的数量
- $ x $ 和 $ y $：两组数据
- $ \sum x $：x的总和
- $ \sum y $：y的总和
- $ \sum xy $：x与y对应乘积的总和
- $ \sum x^2 $：x平方的总和
- $ \sum y^2 $：y平方的总和
二、相关系数r的意义
| r 的取值 | 意义 |
| r = 1 | 完全正相关 |
| r = -1 | 完全负相关 |
| r ≈ 0 | 无线性相关 |
| 0 < r < 1 | 正相关，r越大，相关性越强 |
| -1 < r < 0 | 负相关，r越小，相关性越强 |
三、相关系数r的计算步骤
1. 收集数据：得到成对的数据点（x₁, y₁）、（x₂, y₂）……（xn, yn）
2. 计算各项总和：
- 计算 ∑x、∑y、∑xy、∑x²、∑y²
3. 代入公式计算r
4. 分析结果：根据r的大小判断相关性强弱
四、示例说明（表格形式）
| 数据对 | x | y | xy | x² | y² |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 2 | 4 | 8 | 4 | 16 |
| 3 | 3 | 6 | 18 | 9 | 36 |
| 4 | 4 | 8 | 32 | 16 | 64 |
| 5 | 5 | 10 | 50 | 25 | 100 |
求和结果：
- ∑x = 15
- ∑y = 30
- ∑xy = 110
- ∑x² = 55
- ∑y² = 220
- n = 5
代入公式：
$$
r = \frac{5 \times 110 - (15 \times 30)}{\sqrt{[5 \times 55 - 15^2][5 \times 220 - 30^2]}} = \frac{550 - 450}{\sqrt{(275 - 225)(1100 - 900)}} = \frac{100}{\sqrt{50 \times 200}} = \frac{100}{\sqrt{10000}} = \frac{100}{100} = 1
$$
结论： r = 1，表示x与y之间存在完全正相关关系。
五、注意事项
- 相关系数只反映线性关系，不能说明因果关系。
- 当数据分布不均匀或存在异常值时，相关系数可能失真。
- 在实际应用中，应结合散点图进行分析，避免仅依赖数值判断。
通过以上内容可以看出，相关系数r是高中数学中重要的统计工具之一，掌握其计算方法和意义有助于理解数据之间的关系，并为后续学习更复杂的统计模型打下基础。
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