【9.2异面直线所成角教案.doc】一、教学目标：
1. 知识与技能目标：
- 理解异面直线的定义及空间中两条直线的位置关系。
- 掌握异面直线所成角的概念及其求法。
- 能够通过平移的方法将异面直线转化为相交直线，从而求出它们所成的角。
2. 过程与方法目标：
- 通过直观演示和几何画图，培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。
- 学会运用向量法或几何法解决异面直线所成角的问题。
3. 情感态度与价值观目标：
- 激发学生对立体几何的兴趣，增强其探索精神和合作意识。
- 培养严谨的数学思维习惯，提升解决问题的能力。
二、教学重点与难点：
- 重点： 异面直线所成角的定义及其求法。
- 难点： 如何正确地将异面直线转化为相交直线，并准确计算所成的角。
三、教学准备：
- 教师准备：多媒体课件、三维几何模型、几何绘图工具。
- 学生准备：课本、练习本、直尺、圆规等基本作图工具。
四、教学过程：
1. 导入新课（5分钟）
教师提问：
“在平面几何中，我们学习了两条直线相交时所形成的角，那么在三维空间中，如果两条直线既不相交也不平行，它们之间是否也存在某种角度关系呢？”
引导学生思考并引出“异面直线”的概念，进而引入本节课的主题——“异面直线所成的角”。
2. 新知讲解（15分钟）
（1）异面直线的定义：
在同一空间内，既不相交也不平行的两条直线称为异面直线。
（2）异面直线所成角的定义：
给定两条异面直线，分别在两条直线上各取一点，作一条与其中一条直线平行的直线，使其与另一条直线相交，则这两条相交直线所形成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角。
（3）异面直线所成角的范围：
0° < θ ≤ 90°
（4）求法：
- 几何法：通过平移一条直线，使其与另一条直线相交，再求夹角。
- 向量法：利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量之间的夹角。
3. 例题讲解（15分钟）
例题1：
已知空间中两条异面直线l₁和l₂，其方向向量分别为a = (1, 2, 3) 和 b = (2, -1, 1)，求这两条直线所成的角。
解法：
利用向量夹角公式：
$$
\cos\theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}
$$
计算得：
$$
\vec{a} \cdot \vec{b} = 1×2 + 2×(-1) + 3×1 = 2 - 2 + 3 = 3
$$
$$
|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}, \quad |\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}
$$
$$
\cos\theta = \frac{3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{84}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} \approx 0.333
$$
$$
\theta = \arccos(0.333) \approx 70.5^\circ
$$
例题2：
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求异面直线AB₁与CD₁所成的角。
解法：
通过几何作图，可将AB₁平移至与CD₁相交，形成一个三角形，从而求出夹角。
4. 巩固练习（10分钟）
布置几道不同类型的题目，包括几何作图题和向量计算题，让学生独立完成并进行小组讨论。
5. 小结与作业（5分钟）
小结：
- 异面直线所成角的定义及求法；
- 平移法与向量法的应用；
- 注意角的范围为0°到90°。
作业：
完成教材P102页第3、5、7题，并尝试用两种方法（几何法与向量法）解同一道题。
五、板书设计：
```
课题：异面直线所成角
一、异面直线定义：
不相交、不平行的两条直线
二、异面直线所成角定义：
通过平移后形成相交直线所成的锐角
三、角的范围：
0° < θ ≤ 90°
四、求法：
1. 几何法：平移+作图
2. 向量法：cosθ = |a·b| / (|a||b|)
```
六、教学反思：
本节课通过多种方式引导学生理解异面直线所成角的概念，结合实例和练习帮助学生掌握求法。在后续教学中，可以进一步拓展空间向量的相关内容，为立体几何的深入学习打下基础。
