【高三数学阿波罗尼斯圆问题梳理学案作业答案】在高中数学的学习过程中，几何部分一直是同学们较为头疼的内容之一。其中，“阿波罗尼斯圆”作为解析几何中的一个重要知识点，不仅在高考中频繁出现，也是许多学生理解上的难点。本文将围绕“阿波罗尼斯圆”的基本概念、常见题型以及典型例题的解答思路进行系统梳理，帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、什么是阿波罗尼斯圆？
阿波罗尼斯圆（Apollonius Circle）是几何学中的一个经典概念，来源于古希腊数学家阿波罗尼奥斯的研究。其定义为：平面上到两个定点的距离之比为常数（不等于1）的所有点的轨迹，即满足：
$$
\frac{PA}{PB} = k \quad (k > 0, k \neq 1)
$$
其中，P 是动点，A、B 是两个定点，k 是定值。
当 $k = 1$ 时，轨迹是一条直线（即线段 AB 的垂直平分线），而当 $k \neq 1$ 时，轨迹是一个圆，称为阿波罗尼斯圆。
二、阿波罗尼斯圆的基本性质
1. 圆心位置：
阿波罗尼斯圆的圆心位于线段 AB 的延长线上，且满足：
$$
\frac{OA}{OB} = \frac{k^2}{1}
$$
2. 半径计算：
若设 A、B 之间的距离为 d，则该圆的半径为：
$$
r = \frac{d}{|k^2 - 1|}
$$
3. 对称性：
阿波罗尼斯圆关于 AB 的中垂线对称。
三、常见题型与解题思路
1. 已知两定点和比例，求圆的方程
例题：已知点 A(1, 0)，B(3, 0)，动点 P 满足 $\frac{PA}{PB} = 2$，求 P 点的轨迹方程。
解题步骤：
- 设 P(x, y)，根据题意：
$$
\frac{\sqrt{(x - 1)^2 + y^2}}{\sqrt{(x - 3)^2 + y^2}} = 2
$$
- 两边平方得：
$$
(x - 1)^2 + y^2 = 4[(x - 3)^2 + y^2]
$$
- 展开并整理：
$$
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)
$$
$$
x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2
$$
$$
0 = 3x^2 - 22x + 35 + 3y^2
$$
$$
3x^2 + 3y^2 - 22x + 35 = 0
$$
- 化简得：
$$
x^2 + y^2 - \frac{22}{3}x + \frac{35}{3} = 0
$$
此即为所求的阿波罗尼斯圆的方程。
2. 利用阿波罗尼斯圆解决最值问题
例题：已知点 A(0, 0)，B(4, 0)，动点 P 满足 $\frac{PA}{PB} = \frac{1}{2}$，求 |PA| 的最小值。
解题思路：
- 由题意可知，P 点的轨迹为阿波罗尼斯圆。
- 找出该圆的圆心和半径，再利用几何方法求出 PA 的最小值。
四、典型作业题参考答案
题目1：已知 A(-1, 0)、B(1, 0)，动点 P 满足 $\frac{PA}{PB} = 2$，求 P 点的轨迹方程。
答案：
$$
x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} = 0
$$
题目2：已知 A(0, 0)，B(6, 0)，动点 P 满足 $\frac{PA}{PB} = \frac{1}{3}$，求该圆的圆心坐标。
答案：圆心为 $(3, 0)$
五、总结
阿波罗尼斯圆虽然看似抽象，但只要掌握了其定义、性质及常见题型的解法，就能在考试中灵活应对。建议同学们在学习过程中注重画图辅助理解，并通过多做练习来加深对这一知识点的掌握。
希望本学案能帮助大家更好地理解和应用阿波罗尼斯圆的相关知识，提升数学成绩，迎接高考挑战！
