【整式的除法多项式除以多项式】在代数学习中，整式的除法是一个重要的知识点，尤其是“多项式除以多项式”的运算。这一过程与整数的除法类似，但涉及的是多项式的结构和项的排列。通过合理的方法，可以将一个多项式除以另一个多项式，得到商式和余式。
以下是关于“多项式除以多项式”的基本概念、步骤及示例总结：
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 多项式 | 由常数、变量和它们的乘积组成的代数式，如 $x^2 + 3x - 5$ |
| 除式 | 被除的多项式，如 $x^2 + 3x - 5$ |
| 除数 | 用来除的多项式，如 $x + 1$ |
| 商式 | 除法结果中的主要部分，即商 |
| 余式 | 除法结束后剩余的部分，通常次数低于除数 |
二、多项式除法的基本步骤
1. 按降幂排列：将被除式和除式都按照字母的降幂排列。
2. 首项相除：用被除式的首项除以除式的首项，得到商的第一项。
3. 乘积减去：将商的第一项乘以除式，再从被除式中减去这个乘积。
4. 重复操作：将新的被除式继续进行上述步骤，直到余式的次数小于除式的次数为止。
5. 写出结果：最终结果为商式加上余式除以除式（若存在余式）。
三、示例说明
例题：计算 $(x^3 + 2x^2 - x - 2) \div (x + 1)$
步骤如下：
1. 被除式：$x^3 + 2x^2 - x - 2$
除式：$x + 1$
2. 首项相除：$x^3 ÷ x = x^2$ → 商的第一项是 $x^2$
3. 乘积减去：$x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2$
减去后：$(x^3 + 2x^2) - (x^3 + x^2) = x^2$
4. 新的被除式变为：$x^2 - x - 2$
再次首项相除：$x^2 ÷ x = x$ → 商的第二项是 $x$
5. 乘积减去：$x \cdot (x + 1) = x^2 + x$
减去后：$(x^2 - x) - (x^2 + x) = -2x$
6. 新的被除式变为：$-2x - 2$
首项相除：$-2x ÷ x = -2$ → 商的第三项是 $-2$
7. 乘积减去：$-2 \cdot (x + 1) = -2x - 2$
减去后：$(-2x - 2) - (-2x - 2) = 0$
结果：商式为 $x^2 + x - 2$，余式为 $0$
四、总结对比表
| 步骤 | 操作 | 结果 |
| 1 | 排列多项式 | 被除式：$x^3 + 2x^2 - x - 2$ 除式：$x + 1$ |
| 2 | 首项相除 | $x^3 ÷ x = x^2$ |
| 3 | 乘积减去 | $x^2 \cdot (x + 1) = x^3 + x^2$ 减去后：$x^2$ |
| 4 | 重复操作 | $x^2 ÷ x = x$ |
| 5 | 乘积减去 | $x \cdot (x + 1) = x^2 + x$ 减去后：$-2x$ |
| 6 | 重复操作 | $-2x ÷ x = -2$ |
| 7 | 乘积减去 | $-2 \cdot (x + 1) = -2x - 2$ 减去后：$0$ |
| 最终结果 | 商式 + 余式 | $x^2 + x - 2$，余式为 $0$ |
五、注意事项
- 若余式不为零，则需写成 $\frac{\text{余式}}{\text{除式}}$ 的形式。
- 多项式除法的结果可能为整式或分式。
- 在实际应用中，多项式除法常用于因式分解、简化表达式等。
通过以上内容可以看出，“多项式除以多项式”是一种系统性较强的操作，需要严格按照步骤执行，同时注意多项式的排列顺序和各项的符号变化。掌握好这一方法，有助于提高代数运算的能力和对多项式结构的理解。
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