【可去间断点的定义】在数学分析中，函数的连续性是一个核心概念。当一个函数在某一点不连续时，我们称该点为“间断点”。根据间断点的不同性质，可以将其分为多种类型，其中“可去间断点”是一种较为常见的类型。它具有一定的特殊性，可以通过重新定义函数在该点的值，使函数在该点变得连续。
一、可去间断点的定义
可去间断点是指：在某一点 $ x = a $ 处，函数 $ f(x) $ 虽然在该点不连续，但其左右极限存在且相等，即：
$$
\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L
$$
而 $ f(a) $ 不存在或不等于 $ L $，这种情况下，$ x = a $ 就被称为 可去间断点。
如果我们将 $ f(a) $ 定义为 $ L $，则函数在该点就变得连续了。
二、可去间断点的特点总结
| 特点 | 内容 |
| 定义域 | 函数在该点可能未定义或定义值不等于极限值 |
| 极限存在性 | 左右极限都存在且相等 |
| 是否可修复 | 可通过重新定义函数在该点的值使其连续 |
| 连续性 | 原函数在该点不连续，但可修复后连续 |
| 应用场景 | 在数学分析、函数图像绘制、工程计算中常见 |
三、举例说明
例1：
函数 $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处无定义，但：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
$$
因此，$ x = 0 $ 是一个可去间断点。若将 $ f(0) = 1 $，则函数在该点连续。
例2：
函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ 在 $ x = 1 $ 处无定义，但化简后为：
$$
f(x) = x + 1 \quad (x \neq 1)
$$
极限为：
$$
\lim_{x \to 1} f(x) = 2
$$
所以，$ x = 1 $ 是一个可去间断点。
四、与其它间断点的区别
| 间断点类型 | 是否有极限 | 是否可修复 | 举例 |
| 可去间断点 | 有，左右极限相等 | 可以修复 | $ f(x) = \frac{\sin x}{x} $ |
| 跳跃间断点 | 有，左右极限不相等 | 不可修复 | $ f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2, & x \geq 0 \end{cases} $ |
| 无穷间断点 | 无（趋于无穷） | 不可修复 | $ f(x) = \frac{1}{x} $ 在 $ x = 0 $ 处 |
五、总结
可去间断点是函数不连续的一种形式，其特点是左右极限存在且相等，但函数在该点的值不符合极限值。这种类型的间断点可以通过重新定义函数在该点的值来消除，从而使函数在该点连续。理解可去间断点有助于更深入地掌握函数的连续性及极限理论。
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